Системы счисления, используемые в ЭВМ.

• Десятичная система счисления
• Двоичная система счисления
  • Двоичное сложение
  • Двоичное вычитание
  • Перевод целых чисел
  • Перевод дробей
• Восьмеричная система счисления
• Шестнадцатеричная система счисления

Дело в том, что для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соостветствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний. Так, в арифмометрах используются вращающиеся шестеренки, в которых фиксируется десять устойчивых положений. Но арифмометр и другие подобные механические устройства имеют серьезный недостаток- низкое быстродействие.

Создание электронных элиментов, имеющих много устойчивых состояний, затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:
--электромагнитные реле замкнуто или разомкнуто;
--ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена;
--магнитный сердечник намагничен в одном направлении или в противоположном;
--транзисторный ключ находится в проводящем состоянии или запертом и т.д.

Одно из этих устойчивих состояний может представляться с цифрой 0, другое- цифрой 1. С двоичной системой связаны и другие существенные приемущества. Она обеспечивает максимальную устойчивость в процессе передачи информации как между отдельными узлами автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Большое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи двоичных чисел. Пользоваться такими числами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку не удобно. Поэтому специалисты(программисты, инженеры) как на этапах составления программ для ЭВМ, их отладки, ручного ввода/вывода данных, так и на этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа. Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления выступают в качестве простейшего языка обшения человека с ЭВМ, достаточно близкого как к превычной для человека десятичной системе счисления, так и к двоичному"языку" машины.

Как правило, пользователь ЭВМ вводит исходную информацию и получает результат решения задачи в десятичной системе счисления.

При вводе информации в ЭВМ каждая десятичная цифра заменяется ее двоичным эквивалентном в виде тетрады (четыре двоичных разряда). Десятичное число требует для своего изображения стольких тетрад, сколько имеется десятичных разрядов в числе. Таким образом, десятичные цифры представляются в двоичной системе счисления, а все разряды без изменения -- в десятичной системе счисления. Это позволяет выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, используя двоичные элементы для хранения и переработки числовой информации. Такая форма представления данных называется двоично-десятичной. Говорят о двоично-десятичном коде (ДДК) или смешанной двоично-десятичной системе счисления.

Перед матиматиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую "машинную" группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. К "машинной" группе систем счисления относятся: -- двоичная;
-- восьмеричная;
-- шестнадцатеричная.

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Из истории известен курьезный случай с восьмеричной системой счисления. Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой счисления, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским приказом ввести ее как общепринятую. Неожиданная смерть помешала королю осуществить столь необычное намерение.

Десятичная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Для изображения чисел больших 9 применяется позиционный способ записи числа. Значение цифры зависит от ее положения в числе.

Например, число 1998. Девятка на третьей позиции справа меньше чем единица на четвертой позиции справа, 900<100

Это число можно представить как сумму:

1998 = 1000 + 900 + 90 + 8, или
1998 = 1·10³ + 9·10² + 9·10¹ + 8·10⁰

Дробные числа могут быть записаны следующим образом:
70,25 = 7·10¹ + 0·10⁰ + 2·10^-1 + 5·10^-2

В качестве коэффициентов у степени десятки выступают цифры:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления многократно проверены в школе. Выполняются!

Двоичная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1. Для изображения чисел больших 1 применяется позиционный способ записи числа,.

Двоичные числа можно представить в виде суммы ряда степеней двойки, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 2, а коэффициентами числа: 0,1.
...+ k·2³ + k·2² + k·2¹ + k·2 ⁰, где
k - коэффициент

Возведем основание в степень. Получим ряд чисел:
...+ 8 + 4 + 2 + 1

Предлагается прием записи двоичных чисел:
Например, нам надо изобразить число 5
смотрим на строку 8 + 4 + 2 + 1 и складываем цифры так, чтобы получиловь требуемое десятичное число. Если цифра входит в сумму то на ее позиции ставим 1, если не входит, то ставим 0. Для получения 5 нам нужны числа 4 и 1, значит число будет выглядеть так:
0101
Первый 0 можно не записывать, получаем
101
Читается: один нуль один (сто один - не верно)

Запомним:
Единица на первой позиции справа играет роль 1;
Единица на второй позиции играет роль 2;
Единица на третьей позиции играет роль 4;
Единица на четвертой позиции играет роль 8 и т.д.
А нуль, он и в Африке нуль.

Составим таблицу перевода десятичных чисел в двоичные:

Десятичная	Двоичная
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010

Полезно запомнить ряд степеней двойки:
128+64+32+16+8+4+2+1

Это замечательный ряд. Компьютер работает с ним постоянно. Каждый раз когда вы нажимаете любую клавишу, компьютер складывает этот ряд, определяет код символа и печатает его на экране. 8 бит (нулей или единиц) образуют байт. Предлагаем Вам поработать с байтом. Байт

Арифметические действия в двоичной системе счисления

Двоичное сложение предельно просто. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос единицы в старший разряд.

+	0		+	0		+	1		+	1
	0			1			0			1
	0			1			1		1	0

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенными таблицами сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Попробуйте свои силы в испытателе сложения двоичных чисел.

Двоичное вычитание рассмотрим на примере.

-	0		-	1		-	1		-	1	0
	0			0			1				1
	0			1			0				1

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенными таблицами вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.

Попробуйте свои силы в испытателе вычитания двоичных чисел.

Перевод целых десятичных чисел в двоичные.

Для того, чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы счисления в двоичную, необходимо:

шаг 1: разделить делимое на 2; зафиксировать остаток (0 или 1) и частное;

шаг 2: сравнить частное с единицей: если частное не равно единице, то продолжить действия - вернуться к шагу 1, предварительно отправив частное на место делимого; если частное равно единице, то перейти к шагу 3;

шаг 3: Зафиксированные в процессе выполнения предыдущих шагов остатки записать в обратном порядке в виде двоичного числа.

Полученная таким образом последовательность нулей и единиц дает представление десятичного числа в системе счисления с основанием 2.

Попробуйте свои силы в испытателе перевода целых десятичных чисел двоичные числа.

Перевод десятичных дробей в двоичные.

Рассмотрим пральные десятичные дробие. Это дроби вида:
0,48 = 0·10 ⁰ + 4·10^-1 + 8·10^-2
0,169 = 0·10⁰ + 1·10^-1 + 6·10^-2+ 9·10 ^-3

Как будет выглядеть десятичная дробь 0,125₁₀ = ?₂ в форме двоичного числа?

шаг 1: умножим дробную часть на 2;

шаг 2: отделить целую часть произведения (0 или 1), записать дробную часть произведения; действия продолжать до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

шаг 3: Зафиксированные в процессе выполнения предыдущих шагов целые части записать сверху вниз в виде двоичного числа.

0,	125 x2
0	250 x2
0	500 x2
1	000

таким образом получаем:
0,125 ₁₀ = 0,001 ₂

Попробуйте свои силы в испытателе перевода десятичных дробей в двоичные.

Восьмеричная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1,2,3,4,5,6,7. Для изображения чисел больших 7 применяется позиционный способ записи числа. Значение цифры зависит от ее положения в числе.

Восьмеричные числа можно представить в виде суммы ряда степеней восьмерки, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 8, а коэффициентами числа: 0,1,2,3,4,5,6,7.
...+ k·8 ³ + k·8 ² + k·8 ¹ + k·8 ⁰, где
k - коэффициент

Сложение чисел в этой и других системах счисления можно выполнить в испытателе.

Вычитанием чисел можно поупражняться здесь

Шестнадцатеричная система счисления

Для изображения чисел используются символы:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.

Основание 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Основание 16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	a	b	c	d	e	f

Для изображения чисел больших 15 применяется позиционный способ записи числа.

Шестнадцатеричная числа можно представить в виде суммы ряда степеней 16, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 16, а коэффициентами числа: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.
...+ k·16 ³ + k·16 ² + k·16 ¹ + k·8 ⁰, где
k - коэффициент

Сложение чисел в этой и других системах счисления можно выполнить в испытателе.

Вычитанием чисел можно поупражняться здесь.